Question

已知集合D={（x₁，x₂）|x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=k}（其中k為正常數）．
（1）設u=x₁x₂，求u的取值范圍；
（2）求證：當k≥1時不等式對任意（x₁，x₂）∈D恒成立；
（3）求使不等式對任意（x₁，x₂）∈D恒成立的k²的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用基本不等式，其中和為定值，積有最大值；
（2）結合（1）中的范圍直接將左邊展開，利用u在上單調遞增即可，或者作差法比較；
（3）結合（2）將（3）轉化為求使對恒成立的k的范圍，利用函數的單調性解決，或者作差法求解．
解答：解：（1），當且僅當時等號成立，
故u的取值范圍為．
（2）解法一（函數法）=
由，又k≥1，k²-1≥0，
∴在上是增函數
所以
=
即當k≥1時不等式成立．
解法二（不等式證明的作差比較法）

=
=
=，
將k²-4x₁x₂=（x₁-x₂）²代入得：

=
∵（x₁-x₂）²≥0，k≥1時4-k²x₁x₂-4k²=4（1-k²）-k²x₁x₂＜0，
∴，
即當k≥1時不等式成立．
（3）解法一（函數法）
記=，
則，
即求使對恒成立的k²的范圍．
由（2）知，要使
對任意（x₁，x₂）∈D恒成立，必有0＜k＜1，
因此1-k²＞0，
∴函數在上遞減，在上遞增，
要使函數f（u）在上恒有，必有，即k⁴+16k²-16≤0，
解得．
解法二（不等式證明的作差比較法）
由（2）可知=，
要不等式恒成立，必須4-k²x₁x₂-4k²≥0恒成立
即恒成立
由得，即k⁴+16k²-16≤0，
解得．
因此不等式恒成立的k²的范圍是
點評：本題考查不等式的綜合應用，以及利用轉化思想、函數思想轉化為函數問題利用函數的單調性解決不等式問題，屬于中檔題．