Question

動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）在其運(yùn)動(dòng)過程中總滿足關(guān)系式

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6．
（1）點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？請寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知定點(diǎn)T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值為1，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)（x，y） 滿足

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6，由橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且 a=3，c=

5

，故b=2，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由于 |MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3，分0≤

9

5

t＜3和

9

5

t≥32種情況，利用|MT|的最小值為1，求出t的值．

解答：解：（1）由于點(diǎn)（x，y） 滿足

(x- 5 )2+y2

+

(x+ 5 )2+y2

=6，即點(diǎn)（x，y） 到兩個(gè)定點(diǎn)（-

5

，0）、（

5

，0）的距離之和等于常數(shù)6，
由橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且 a=3，c=

5

，故b=2，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為  

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）由于 |MT|2=f(x)=(x-t)2+y2=(x-t)2+4(1-

x2

9

)，0≤x≤3，
記f(x)=(x-t)2+4(1-

x2

9

)=

5

9

(x-

9

5

t)2-

4

5

t2+4，0≤x≤3．
①當(dāng)0≤

9

5

t＜3，即0＜t＜

5

3

時(shí)，

|MT|2

min

=f(

9

5

t)=-

4

5

t2+4，又

|MT|2

min

=1，
∴-

4

5

t2+4=1，解得t=

15

2

，而t=

15

2

∉(0，

5

3

)，故舍去．
②當(dāng)

9

5

t≥3，即

5

3

≤t＜3時(shí)，

|MT|2

min

=f(3)=t2-6t+9，又

|MT|2

min

=1，
∴t²-6t+9=1，解得t=2或t=4，而4∉[

5

3

，3)，2∈[

5

3

，3)，故t=4不符合題意，t=2符合題意．
綜上可知，t=2．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．