Question

設函數f（x）=ax²+bx+在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線2x+4y-9=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積；
（Ⅲ）設函數g（x）=，若方程g（x）=m有三個不相等的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為”函數在x=0處取得極值“，則有，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直”，
則有，從而求解；
（Ⅱ）利用微積分基本定理來求曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得到：，令，有x²-2x+=0，
則由其兩根來構建單調區間求出極值，只需使m大于極小值且小于極大值即可．
解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0處取得極限值，故，從而b=0
由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直可知該切線斜率為2，
即，有2a=2，從而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+，
聯立直線與曲線方程得到x=-或x=1
故曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積為
=
=；
（Ⅲ）=
令，得到
根據x₁，x₂列表，得到函數的極值和單調性

x
f（x）	+		-		+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數g（x）的極大值為 ，函數g（x）的極小值為 
∴
點評：本題主要考查導數的幾何意義，函數的極值及函數的單調性．綜合性較強，充分考查了函數方程不等式三者的內在聯系與轉化．