Question

已知兩個等差數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且

An

Bn

=

7n+45

n+3

，則使得

an

bn

為正偶數時，n的值可以是（　　）

A．1

B．2

C．5

D．3或11

Answer 1

分析：根據等差數列的性質、等差中項的綜合應用，化簡

an

bn

=7+

12

n+1

，要使得

an

bn

為正偶數，需 7+

12

n+1

為正偶數，需

12

n+1

為正奇數，由此求得正整數n的值．

解答：解：由等差數列的前n項和公式可得

an

bn

=

1 2 (a1+a2n-1)

1 2 (b1+b2n-1)

=

1 2 (2n-1)(a1+a2n-1)

1 2 (2n-1)(b1+b2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

(2n-1)+3

=

14n+38

2n+2

=

7n+19

n+1

=7+

12

n+1

（n∈N^*）．
要使得

an

bn

為正偶數，需 7+

12

n+1

 為正偶數，需

12

n+1

為正奇數，故n=3，或11，
故選D．

點評：本題主要考查等差數列的性質、等差中項的綜合應用以及分離常數法，數的整除性是傳統問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用．
已知兩個等差數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，則有如下關系

an

bn

=

A2n-1

B2n-1

．