Question

橢圓C中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）已知直線l（l不垂直于x軸）交橢圓C于P、Q兩點，若，求證：點O到直線l的距離是．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設橢圓的標準方程，根據離心率得到a，c的關系，再由橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為可得到點（c，）在橢圓上，代入可得到b的值，再結合離心率可得到a，c的值，從而得到橢圓C的標準方程．
（II）先設點P、Q的坐標，然后聯立直線和橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，從而得到兩根之和與兩根之積的關系式，進而可表示出y₁y₂的關系式，再由可得到，整理可得到，然后表示出點O到直線l的距離再將代入即可求出點O到直線l的距離為定值，從而得證．
解答：解：（I）設橢圓，因為，
在橢圓上，則，解得b=1
，圓的方程為
（II）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由
，

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
==
因為，，
即
點O到直線l的距離
即點O到直線l的距離為定值
點評：本題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重點，每年必考．一般都是聯立直線與圓錐曲線方程消去一個未知數，得到一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，再結合題意來解．