【題目】設f(x)=ln x,g(x)=x|x|.
(1)求g(x)在x=-1處的切線方程;
(2)令F(x)=x·f(x)-g(x),求F(x)的單調區間;
(3)若任意x1,x2∈[1,+∞)且x1>x2,都有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求實數m的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)答案見解析;(3)
.
【解析】試題分析:(1)通過求導得到切線方程x-y+=0;(2)F(x)=xln x-
x2(x>0),得到單調區間(0,+∞)上遞減;(3)構造h(x)=mg(x)-xf(x)=
x2-xln x,則h(x)在(0,+∞)上為單調遞增,故h′(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m≥
恒成立,m≥1。
試題解析:
(1)x<0時,g(x)=-x2,g′(x)=-x,
故g(-1)=-,g′(-1)=1,
故g(x)在x=-1處的切線方程是:y+=1×(x+1),
即x-y+=0.
(2)由題意知F(x)=xln x-x|x|=xln x-
x2(x>0),
F′(x)=ln x-x+1,令t(x)=F′(x)=ln x-x+1,
則t′(x)=-1,
令t′(x)>0,解得0<x<1,令t′(x)<0,解得x>1,
故F′(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,
故F′(x)≤F′(1)=0,
故F(x)在(0,+∞)上遞減;
(3)已知可轉化為x1>x2≥1時,mg(x1)-x1f(x1)≥mg(x2)-x2f(x2)恒成立,
令h(x)=mg(x)-xf(x)=x2-xln x,
則h(x)在(0,+∞)上為單調遞增的函數,
故h′(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m≥恒成立,
令m(x)=,則m′(x)=-
,
∴當x∈[1,+∞)時,m′(x)≤0,m(x)單調遞減,
m(x)≤m(1)=1,即m≥1,
故實數m的取值范圍是[1,+∞).
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【題目】“扶貧幫困”是中華民族的傳統美德,某校為幫扶困難同學,采用如下方式進行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七個,紅球三個,每位獻愛心的參與者投幣20元有一次摸獎機會,一次性從箱子中摸球三個(摸完球后將球放回),若有一個紅球,獎金10元,兩個紅球獎金20元,三個全是紅球獎金100元.
(1)求獻愛心參與者中將的概率;
(2)若該次募捐900位獻愛心參與者,求此次募捐所得善款的數學期望.
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【題目】某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品,其生產的總成本(萬元)與年產量
(噸)之間的函數關系式可以近似的表示為
,已知此生產線年產量最大為
噸.
(1)求年產量為多少噸時,生產每噸產品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每噸產品平均出廠價為40萬元,那么當年產量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
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【題目】已知數列{an}滿足an=2+2cos2,n∈N*,等差數列{bn}滿足a1=2b1,a2=b2.
(1)求bn;
(2)記cn=a2n-1b2n-1+a2nb2n,求cn;
(3)求數列{anbn}前2n項和S2n.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),直線
交橢圓E于A,B兩點,△ABF1的周長為16,△AF1F2的周長為12.
(1)求橢圓E的標準方程與離心率;
(2)若直線l與橢圓E交于C,D兩點,且P(2,2)是線段CD的中點,求直線l的一般方程.
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【題目】在平面直角坐標系中,將曲線
上的所有點橫坐標伸長為原來的
倍,縱坐標伸長為原來的2倍后,得到曲線
,在以
為極點,
軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線
的極坐標方程是
.
(1)寫出曲線的參數方程和直線
的直角坐標方程;
(2)在曲線上求一點
,使點
到直線
的距離
最大,并求出此最大值.
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【題目】已知等差數列{an}的首項a1=1,公差d>0.且a2,a5,a14分別是等比數列{bn}的b2,b3,b4.
(1)求數列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設數列{cn}對任意自然數n均有成立,求c1+c2+…+c2016的值.
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