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【題目】f(x)ln x,g(x)x|x|.

(1)g(x)x=-1處的切線方程;

(2)F(x)x·f(x)g(x),求F(x)的單調區間;

(3)若任意x1,x2[1,+)x1>x2,都有m[g(x1)g(x2)]>x1f(x1)x2f(x2)恒成立,求實數m的取值范圍.

【答案】(1) ;(2)答案見解析;(3) .

【解析】試題分析:(1)通過求導得到切線方程xy0;(2F(x)xln xx2(x>0),得到單調區間(0,+)上遞減;(3)構造h(x)mg(x)xf(x)x2xln xh(x)(0,+)上為單調遞增,故h′(x)mxln x10恒成立,即m恒成立,m1。

試題解析:

(1)x<0時,g(x)=-x2,g′(x)=-x,

g(1)=-,g′(1)1,

g(x)x=-1處的切線方程是:y1×(x1)

xy0.

(2)由題意知F(x)xln xx|x|xln xx2(x>0)

F′(x)ln xx1,令t(x)F′(x)ln xx1,

t′(x)1,

t′(x)>0,解得0<x<1,令t′(x)<0,解得x>1,

F′(x)(0,1)上遞增,在(1,+)上遞減,

F′(x)F′(1)0,

F(x)(0,+)上遞減;

(3)已知可轉化為x1>x21時,mg(x1)x1f(x1)mg(x2)x2f(x2)恒成立,

h(x)mg(x)xf(x)x2xln x

h(x)(0,+)上為單調遞增的函數,

h′(x)mxln x10恒成立,即m恒成立,

m(x),則m′(x)=-,

∴當x[1,+)時,m′(x)0,m(x)單調遞減,

m(x)m(1)1,即m1,

故實數m的取值范圍是[1,+).

練習冊系列答案
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(1)求獻愛心參與者中將的概率;

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(2)設數列{cn}對任意自然數n均有成立,求c1c2c2016的值.

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