Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-EFGH中，M為DH的中點．
（1）求證：FC∥平面ADHE；
（2）求FM的長；
（3）求證：平面BDHF⊥平面AMC．

Answer 1

分析：（1）要證FC∥平面ADHE，可考慮利用線面平行的判定定理，故需要在平面ADHE內找一直線，使其與直線FC平行
，故考慮連接ED，由EF=CD，且EF∥CD，可得FC∥ED，故可證
（2）在直角三角形FMH中，利用勾股FM²=FH²+HM²，可求FM
（3）由HD⊥平面ABCD可得，AC⊥HD，又AC⊥BD可證AC⊥平面BDHF，從而可證

解答：證明：（1）連接ED，因為 EF=CD，并且EF∥CD，所以FC∥ED
因為ED?平面ADHE，FC?平面ADHE，
所以FC∥平面ADHE
（2）因為HM=1，FH=2

2

在直角三角形FMH中，FM²=FH²+HM²，所以FM=3
（3）因為HD⊥平面ABCD，所以AC⊥HD，又因為AC⊥BD，BD∩DH=D，所以AC⊥平面BDHF
又AC?平面AMC，則平面BDHF⊥平面AMC

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理的應用及面面垂直的判定定理的應用，解決問題的關鍵是要根據題目中的條件，添加合適的輔助線，通過線線的關系、線面關系、面面關系的相互轉化，達到目的．