Question

已知橢圓左右兩焦點為F₁，F₂，P是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當e取最大值時，過F₁，F₂，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求圓Q的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線L上任一點A引圓Q的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由相似三角形知，，，2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．
（1）由，知，在上單調遞減．由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）當時，，所以，2b²=a²．由PF₂⊥F₁F₂，知PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，由此能求出圓Q的方程．
（3）橢圓方程是，右準線方程為，由直線AM，AN是圓Q的兩條切線，知切點M，N在以AQ為直徑的圓上．設A點坐標為，由此能夠導出直線MN必過定點．
解答：解：由相似三角形知，，，
∴2a²λ-b²λ=b²，2a²λ=b²（1+λ），．
（1），∴，在上單調遞減．
∴時，e²最小，時，e²最大，
∴，∴．
（2）當時，，∴，∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=6．
又，∴．
∴，圓心Q（0，1），半徑為3，x²+（y-1）²=9．
（3）橢圓方程是，右準線方程為，
∵直線AM，AN是圓Q的兩條切線，∴切點M，N在以AQ為直徑的圓上．設A點坐標為，
∴該圓方程為．∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：，這就是直線MN的方程．
該直線化為：，
∴，∴
∴直線MN必過定點．
點評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．