Question

如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點，

OP

=x•

OA

+y•

OB

．
（1）若

BP

=

PA

，求x，y的值；
（2）若

BP

=3

PA

，|

OA

|=4，|

OB

|=2，且

OA

與

OB

的夾角為60°時，求

OP

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1），據相等向量的定義及向量的運算法則：三角形法則求出

OP

，利用平面向量基本定理求出x，y的值
（2）利用向量的運算法則將

OP

，

AB

用

OA

，

OB

表示，利用向量數量積的運算律將

OP

•

AB

用

OA

，

OB

的模及它們的數量積表示求出值．

解答：解：（1）∵

BP

=

PA

，
∴

BO

+

OP

=

PO

+

OA

，即2

OP

=

OB

+

OA

，
∴

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，即x=

1

2

，y=

1

2

（2）∵

BP

=3

PA

，
∴

BO

+

OP

=3

PO

+3

OA

，即4

OP

=

OB

+3

OA

∴

OP

=

3

4

OA

+

1

4

OB

∴x=

3

4

，y=

1

4

OP

•

AB

=(

3

4

OA

+

1

4

OB

)•(

OB

-

OA

)
=

1

4

OB

•

OB

-

3

4

OA

•

OA

+

1

2

OA

•

OB

=

1

4

×22-

3

4

×42+

1

2

×4×2×

1

2

=-9

點評：本題考查向量的加法、減法的運算法則；向量的數量積及其運算律；
利用運算法則將未知的向量用已知向量表示，從而將未知向量的數量積，用已知向量的數量積表示．