Question

已知△ABC的三個內角A，B，C對應的邊長分別為a，b，c，向量

m

=（sinB，1-cosB）與向量

n

=（2，0）的夾角θ的余弦值為

1

2

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由條件求得cosθ=

m • n

| m |•| n |

=cos

B

2

=

1

2

，由此可得B的值．
（2）由以上可得A+C=

π

3

，利用兩角和差的正弦公式求得sinA+sinC=sin（A+

π

3

），根據0＜A＜

π

3

，求得sinA+sinC∈(

3

2

，1]，由此可得a+c=

b

sinB

(sinA+sinC)=2(sinA+sinC)的范圍．

解答：解：（1）△ABC中，因為

m

═（sinB，1-cosB）=2sin

B

2

 •(cos

B

2

，sin

B

2

)，

n

=（2，0），
∴

m

•

n

=4sin

B

2

cos

B

2

，|

m

|=2sin

B

2

，|

n

|=2，
所以，cosθ=

m • n

| m |•| n |

=cos

B

2

．…（4分）
由cos

B

2

=

1

2

，0＜θ＜π，可得

B

2

=

π

3

，即B=

2π

3

．…（7分）
（2）因為B=

2π

3

，所以A+C=

π

3

．
所以sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=sinA+sin

π

3

cosA-cos

π

3

sinA
=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(

π

3

+A)． …（10分）
又0＜A＜

π

3

，所以

π

3

＜

π

3

+A＜

2π

3

．所以，sinA+sinC∈(

3

2

，1]．…（12分）
又a+c=

b

sinB

(sinA+sinC)=2(sinA+sinC)，
所以a+c∈(

3

，2]．…（14分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩角和差的正弦公式、正弦定理的應用，正弦函數的定義域和值域，
屬于中檔題．