Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）證明：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只要證明a_n+1+1=2（a_n+1），從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式得

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，，n，再對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s即可．

解答：解：（I）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴a_n+1=2ⁿ．
即a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（II）證明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

．
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3.2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

.

1

2k

，k=1，2，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：由數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造新的等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是常考知識(shí)點(diǎn)，特別注意新數(shù)列的首項(xiàng)，裂項(xiàng)求和是常考數(shù)列求和的方法，并通過放縮法證明不等式．此題非常好，很典型．