Question

已知函數f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期為π，求當-

π

6

≤x≤

π

3

時f（x）的值域
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，求ω的值
（3）對任意m∈R函數y=f（x），x∈[m，m+π]圖象與y=

3

2

有且僅有一個交點，求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用三角公式，將函數化簡為f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，根據三角函數的周期公式可得ω=1，得到函數解析式，最后根據正弦函數的圖象與性質，即可得到當-

π

6

≤x≤

π

3

時f（x）的值域．
（2）由正弦函數圖象對稱軸方程的公式，得x=

π

3

是2ωx+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）的一個解，結合0＜ω＜2，可得ω的值．
（3）根據題意，可得函數的周期為π，從而求得函數解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，再利用正弦函數單調區間的公式，解不等式即可得到y=f（x）的單調遞增區間．

解答：解：f（x）=cosωx（

3

sinωx+cosωx）=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
（1）∵f（x）的周期為T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，函數解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∵-

π

6

≤x≤

π

3

，可得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴函數當x=

π

6

時，取最大值

3

2

；當x=-

π

6

時，取最小值0
因此，當-

π

6

≤x≤

π

3

時f（x）的值域為[0，

3

2

]．
（2）由題意，得x=

π

3

是2ωx+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）的一個解，
可得2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

+kπ，所以ω=

1

2

（1+3k）
∵k∈Z且0＜ω＜2，∴取k=0，得ω=

1

2

．
（3）∵對任意m∈R，函數在x∈[m，m+π]的圖象與y=

3

2

有且僅有一個交點，而

3

2

恰好是函數的最大值
∴函數的周期T=π，得

2π

2ω

=π，ω=1，函數解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
令-

π

2

+2mπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2mπ，得-

π

3

+mπ≤x≤

π

6

+mπ，其中m是整數
∴y=f（x）的單調遞增區間是[-

π

3

+mπ，

π

6

+mπ]，m∈Z

點評：本題將一個三角函數式化簡，求它在閉區間上的單調區間與值域，并求對稱軸方程，著重考查了和與差的三角函數公式、降次公式和輔助角公式，以及三角函數的值域求法等知識，屬于基礎題．