Question

已知函 數.
（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；
（2）若對于都有成立，試求的取值范圍；
（3）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的單調增區間是,單調減區間是.
（2）.           （3）

試題分析：解: (I) 直線的斜率為1.函數的定義域為，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.
所以的單調增區間是,單調減區間是.
(II)，由解得；由解得.
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.
所以當時，函數取得最小值，.
因為對于都有成立，所以即可.
則. 由解得.  所以的范圍是.
(III)依題得，則.由解得；由解得.
所以函數在區間為減函數，在區間為增函數.
又因為函數在區間上有兩個零點，所以
解得.所以的取值范圍是.   
點評：主要是考查了運用導數研究函數的單調性，以及函數的零點問題，屬于中檔題。