Question

如果實系數a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂都是非零常數．
（1）設不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分別是A、B，試問是A=B的什么條件？并說明理由．
（2）在實數集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分別為A和B，試問 是A=B的什么條件？并說明理由．
（3）在復數集中，方程a₁x²+b₁x+c₁=0和a₂x²+b₂x+c₂=0的解集分別為A和B，證明：是A=B的充要條件．

Answer 1

解：（1）若 a=b=c=1，a₁=b₁=c₁=-1，則A≠B …（2分）
若 A=B=Φ，則兩個不等式的系數之間沒有關系． …（4分）
是A=B的既不充分也不必要條件． …（6分）
（2）若 A=B=Φ，則兩個方程的系數之間沒有關系． …（8分）
由于兩個方程的系數對應成比例，所以兩個方程式同解方程．…（10分
是A=B的充分也不必要條件 …（12分）
（3）是A=B的充要條件 …（14分）
由于兩個方程的系數對應成比例，所以兩個方程是同解方程．充分性得證．…（16分）
由韋達定理可以證明必要性．…（18分）
分析：（1）通過舉反例判斷出 推不出A=B，反之A=B也推不出 ，根據充要條件的有關定義得到結論．
（2）通過舉反例判斷出 A=B，推不出兩個方程的系數之間有關系，反之當兩個方程的系數對應成比例，兩個方程式同解方程，利用充要條件的有關定義得到結結論．
（3）兩個方程的系數對應成比例，所以兩個方程是同解方程．充分性得證；由韋達定理可以證明必要性．
點評：本題考查判斷應該命題是另一個命題的什么條件，應該兩邊互推，然后利用充要條件的有關定義加以判斷；考查二次不等式，二次方程的解法．