Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

a_n，數(shù)列{b_n}滿足nb_n=a_n（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式：
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項和公比即可求等比數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．利用“錯位相減法”即可得到S_n．

解答：（1）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足nb_n=a_n（n∈N^*），得bn=

an

n

．
由a_n+1=

n+1

2n

a_n，可得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，∴bn+1=

1

2

bn．
又b1=a1=

1

2

，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為

1

2

，公比為

1

2

，
∴bn=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）解：由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．