Question

【題目】設函數(shù)， .

（1）當時，討論的單調性；

（2）當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】試題分析；（1）根據(jù)，對進行求導，即可求出的單調性；（2）令，對求導后，對進行分類討論，求出函數(shù)的單調性，然后求出，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）當時， ， ，

由于，故當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增．

（2）令 ，

則，

∵當時， 恒成立，

①若，則時， ， ，

此時不恒成立；

②若，由時， 恒成立，

則，則，

令，得或，

（ⅰ）若，則，

當時， ， 單調遞減，

而，∴當時， ，此時不恒成立；

（ⅱ）若，則，

當時， ， 單調遞減，

當時， ， 單調遞增，

∴，此時恒成立；

（ⅲ）若，當時， ， 單調遞增，

有，此時恒成立，

綜上所述， ．

點睛:這個題目考查了導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用，在研究函數(shù)最值的應用；對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).