Question

已知函數．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其單調遞增區間；
（Ⅱ）當時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為2sin（+2x）+2，從而求出函數的最小正周期，再令2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，求出x的范圍，即可求得函數的單調增區間．
（Ⅱ）當時，求出+2x的范圍，可得sin（+2x） 的范圍，從而求得2sin（+2x）+2的范圍，即為所求．
解答：解：（Ⅰ）∵函數=cos2x+sin2x+2
=2sin（+2x）+2，
故它的最小正周期等于 =π．
令 2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函數的單調增區間．
（Ⅱ）當時，+2x∈[，]，sin（+2x）∈[-，1]，
2sin（+2x）+2∈[1，4]，
故函數的值域為[1，4]．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的單調性、周期性、定義域和值域，屬于中檔題．