Question

若(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n，令f（n）=a₀+a₂+a₄+…+a_2n則f（1）+f（2）+…+f（n）=（　　）

• A．

  1

  3

  (2n-1)
• B．

  1

  6

  (2n-1)
• C．

  4

  3

  (4n-1)
• D．

  2

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：令條件中的x=1得到一個等式，再令條件中的x=-1又得到一個等式，兩式相加可得2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n ）=2²ⁿ，從而得到f（n）=

1

2

×2²ⁿ，則f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

（ 2²+2⁴+2⁶+…+2²ⁿ ），利用等比數列的求和公式求得結果．

解答：解：令條件中的x=1可得，2²ⁿ=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n ，令條件中的x=-1可得 0=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a_2n-1-a_2n．
想加可得2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n ）=2²ⁿ，
f（n）=a₀+a₂+a₄+…+a_2n=

1

2

×2²ⁿ，則f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

（ 2²+2⁴+2⁶+…+2²ⁿ ）=

1

2

×

4(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)，
故選D．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，等比數列的求和公式，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．