Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）求關于x的不等式f（2x﹣1）+f（x+3）＞0的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為R，

因為f（x）= = = = ，

所以f（﹣x）= = ，

則f（x）+f（﹣x）= + =0，

所以f（x）是奇函數

（2）解：函數f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數，

由（1）得，f（x）= ，

設任意x1，x2∈R，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣（ ）

= = ，

∵x1＜x2，∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函數f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數

（3）解：由（1）得f（x）是奇函數，

∴不等式f（2x﹣1）+f（x+3）＞0等價于f（2x﹣1）＞f（﹣x﹣3），

∵函數f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數，

∴2x﹣1＜﹣x﹣3，解得x＜ ，

∴不等式的解集是（﹣∞， ）

【解析】（1）求出函數的定義域，利用指數的運算法則化簡f（x）、f（﹣x），由函數奇偶性的定義判斷出奇偶性；（2）利用指數函數的單調性判斷出f（x）的單調性，利用定義法證明函數單調性步驟：取值、作差、變形、定號、下結論進行證明；（3）由奇函數的性質等價轉化不等式f（2x﹣1）+f（x+3）＞0，由單調性列出不等式求出解集．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．