Question

已知函數f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（3）當x∈（0，e]時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在[1，2]上是減函數可得到其導函數在[1，2]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數的性質可求得a的范圍．
（2）先假設存在，然后對函數g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數g（x）在（0，e]上的單調性和最小值取得，可知當a=e²能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx結合（2）中知F（x）的最小值為3，再令并求導，再由導函數在0＜x≤e大于等于0可判斷出函數ϕ（x）在（0，e]上單調遞增，從而可求得最大值也為3，即有成立，即成立．
解答：解：（1）在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有得，
得
（2）假設存在實數a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=35，（舍去），
②當時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增
∴，a=e²，滿足條件．
③當時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F（x）_min=3．
令，，
當0＜x≤e時，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調遞增
∴
∴，即＞（x+1）lnx．
點評：本題主要考查導數的運算和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．