Question

已知f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x，
（1）寫出該函數在[0，π]上單調遞減區間，
（2）求函數f（x）的最小正周期，并求其最值及取最值時x的取值；
（3）怎樣由y=sinx的圖象通過函數圖象的變換得到f（x）的圖象？請寫出變換過程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的平方關系及二倍角公式化簡三角函數；令整體角在正弦的遞減區間內，求出x的范圍與[0，π]的公共部分
（2）利用三角函數的周期公式求出周期；利用（1）中的單調性求出三角函數的最值．
（3）利用三角函數的伸縮變換規律及平移變換規律寫出變換過程．

解答：解：（1）y=2-sin2x+cos2x=-

2

sin(2x-

π

4

)+2，
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，
∴該函數在[0，π]上的單調遞減區間為[0，

3

8

π]，[

7π

8

，π]．（4分）
（2）T=π，由（1）問知：當x=

7

8

π+kπ，(k∈Z)，
倍f（x）最大值為2+

2

，當x=

3

8

π+kπ，(k∈Z)，f（x）最小值為2-

2

；（8分）
（3）y=sinx

縱坐標不變，橫坐標變為原來的 1 2

y=sin2x

圖象向右平移 π 8 個單位

y=sin（2x-

π

4

）

橫坐標不變，縱坐標變為原來的 2 倍

y=

2

sin(2x-

π

4

)

作圖象關于x軸對稱

y=-

2

sin(2x-

π

4

)

圖象向上平移2個單位

y=-

2

sin(2x-

π

4

)+2（12分）

點評：本題考查三角函數的同角三角函數的平方關系、二倍角的正弦公式、余弦公式、整體處理的數學思想方法求單調區間、
三角函數的周期公式、三角函數的圖象變換規律．