Question

已知定義在R上的奇函數f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）試證：對于區間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若過點P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲線y=f（x）的三條切線，試求點P對應平面區域的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先通過函數f（x）在R上是奇函數，得出f（0）=0確定d的值，再通過f（x）在x=±1處取得極值得出f′（1）=f′（-1）=0，進而求出a，b的值
（II）導函數在區間（-1，1）上f′（x）＜0，得出f（x）在區間（-1，1）上單調遞減．進而求出函數的最大最小值．進而證明題設．
（III）設切點為M（x，y），求出切線方程．點p代入切線方程，因由三條切線，可推出關于x的方程有3個根，通過導函數求出m的值．在（0，2）求得p對應的面積，再通過對稱性，得出答案．
解答：解：（I）由題意f（0）=0，
∴d=0，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，又f′（1）=f′（-1）=0，
即，
解得b=0，c=-3．
∴f（x）=x³-3x；
（II）∵f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在區間[-1，1]上為減函數，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
對于區間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（-1）-f（1）=4；
（III）設切點為M（x，y），
則點M的坐標滿足y=x³-3x．
因f′（x）=3（x²-1），
故切線l的方程為：y-y=3（x²-1）（x-x），
∵P（m，n）∈l，∴n-（x³-3x）=3（x²-1）（m-x）
整理得2x³-3mx²+3m+n=0．
∵若過點P（m，n）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴關于x方程2x³-3mx²+3m+n=0有三個實根．
設g（x）=2x³-3mx²+3m+n，
則g′（x）=6x²-6mx=6x（x-m），
由g′（x）=0，得x=0或x=m．
由對稱性，先考慮m＞0
∵g（x）在（-∞，0），（m，+∞）上單調遞增，
在（0，m）上單調遞減．
∴函數g（x）=2x³-3mx²+3m+n的極值點為x=0，或x=m
∴關于x方程2x³-3mx²+3m+n=0有三個實根的充要條件是，
解得-3m＜n＜m³-3m．
故0＜m＜2時，點P對應平面區域的面積

故|m|＜2時，所求點P對應平面區域的面積為2S，即8．
點評：本題主要考查了用待定系數法求函數的解析式．涉及單調性和極值問題時，常可利用導函數來解決問題．