Question

【題目】已知橢圓的短軸長為2，且兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為一個正方形的四個頂點(diǎn)，過E的左焦點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線m與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，交線段AB于點(diǎn)C.

（1）求E的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記的面積為，的面積為，且，當(dāng)時，求l的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意計算，，，得到橢圓方程.

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)關(guān)系，計算點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線m的方程，進(jìn)而計算坐標(biāo)，計算表達(dá)式得到，解得答案.

（1）由題意可得，，半焦距，所以，

所以E的方程.

（2），設(shè)直線l的方程為，，.

聯(lián)立方程組消去y，得，

由韋達(dá)定理得，，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

可得直線m的方程為，

易得，，

所以，

，

，所以，

即l的斜率的取值范圍為.