Question

已知函數f(x)=

x

1+x2

．
（1）求f（-x）+f（x）；
（2）判斷f（x）在區間（-1，0）上的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

x

1+x2

，求出f（-x），即可求得f（-x）+f（x）=0．
（2）利用函數的單調性的定義證明函數f（x）在區間（-1，0）上是增函數．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

x

1+x2

，∴f(-x)=

-x

1+x2

，∴f（-x）+f（x）=0．
（2）f（x）在區間（-1，0）上是增函數．
證明：設-1＜x₁＜x₂＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x2)2

=

(x1-x2 )+x1x2(x2-x1)

(1+x12)(1+x2)2

=

(x1-x2 )•(1-x1x2)

(1+x12)(1+x2)2

．
由-1＜x₁＜x₂＜0可得 x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，∴

(x1-x2 )•(1-x1x2)

(1+x12)(1+x2)2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在區間（-1，0）上是增函數．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，屬于中檔題．