Question

數列{a_n} 中，a₁=1，且點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）=x+2的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足，求證數列{b_n}，是等比數列，并求其前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）=x+2的圖象上得到a_n+1-a_n=2，利用等差數列通項求法即可解決．
（2）由（1）中的a_n的值即可求出b_n的值，然后利用等比數列證法及求和公式即可解決．
解答：解：（Ⅰ）∵（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2（2分）
∴數列{a_n}是a₁=1為首項，2為公差的等差數列，（4分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1（6分）
（Ⅱ）∵數列{b_n}滿足∴b_n=2^2n-2=4^n-1，（9分）
∴==4
∴數列{b_n}是以1為首項，4為公比的等比數列．（11分）
∴=．（13分）
點評：本題考查等差數列和等比數列的通項和和的求法，屬易題．