Question

過曲線y=x²上一點(diǎn)Q₀（1，1）作曲線的切線，交x軸于點(diǎn)P₁；過P₁作垂直于x軸的直線交曲線于Q₁，過Q₁作曲線的切線交x軸于P₂；過P₂作垂直于x軸的直線交曲線于Q₂；如此繼續(xù)下去得到點(diǎn)列：P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，設(shè)P_n的橫坐標(biāo)為x_n．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）求x_n（用只含有字母n的代數(shù)式表示）．
（Ⅲ）令，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閥'=2x，所以曲線在點(diǎn)Q₀處的切線方程為y-1=2（x-1）．
令y=0，得，即．
（Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
令y=0，得，即．
所以{x_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
∴①
∴②
由①-②得，=．
∴．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，求得曲線在點(diǎn)Q₀處的切線方程，令y=0，可求x₁；
（Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令y=0，得，即，從而可得{x_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由此可求x_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，所以，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查等比數(shù)列的判定，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．