Question

設函數f(x)=

a

.

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，b=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）若x∈[-

π

4

，0]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的坐標運算公式，結合二倍角的三角公式化簡整理，得f（x）═2sin（2x+

π

6

）+1．再根據正弦函數的單調區間的公式，解不等式可得函數f（x）的單調減區間；
（2）根據x∈[-

π

4

，0]易得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

6

]．結合正弦函數的圖象與性質，得2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，

1

2

]，由此不難得到函數f（x）在區間[-

π

4

，0]的值域．

解答：解：（1）f(x)=

a

.

b

=2cos²x+

3

sin2x
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
因此，函數f（x）的單調減區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，
（2）當x∈[-

π

4

，0]時，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

6

]．
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，

1

2

]，得y=2sin（2x+

π

6

）+1∈[-

3

+1，2]
即函數f（x）在區間[-

π

4

，0]的值域是[-

3

+1，2]．

點評：本題以平面向量的坐標運算為載體，著重考查了二倍角的三角函數公式、輔助角公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．