Question

已知橢圓C₁的方程為，離心率為，兩個焦點分別為F₁和F₂，橢圓C₁上一點到F₁和F₂的距離之和為12，橢圓C₂的方程為，圓C₃：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點A_k．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）求△A_kF₁F₂的面積；
（III）若點P為橢圓C₂上的動點，點M為過點P且垂直于x軸的直線上的點，（e為橢圓C₂的離心率），求點M的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（I）設橢圓C₁的半焦距為c，利用離心率，橢圓C₁上一點到F₁和F₂的距離之和為12，橢圓定義，求出a，b，然后求橢圓C₁的方程；
（II）求出點A_k的坐標，直接求△A_kF₁F₂的面積；
（III）橢圓C₂的方程為，設M（x，y），P（x，y₁），其中x∈[-4，4]．
求出，化簡16（x²+y₁²）=9（x²+y²）．由點P在橢圓C上得，
求出點M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段．
解答：解：（I）設橢圓C₁的半焦距為c，
則 2a=12

解得a=6，c=3，（3分）
于是b²=a²-c²=36-27=9，（4分）
因此所求橢圓C₁的方程為：（5分）
（II）點A_k的坐標為（-k，2），
則．（10分）
（III）橢圓C₂的方程為，
設M（x，y），P（x，y₁），其中x∈[-4，4]．
由已知得，
而e=，故16（x²+y₁²）=9（x²+y²）．
由點P在橢圓C上得，
化整理得9y²=112，（13分）
因此點M的軌跡方程為，（14分）
軌跡是兩條平行于x軸的線段．（15分）
點評：本題考查橢圓的應用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．