Question

（本小題滿分14分）
如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，EF⊥PB交PB于點F.

(Ⅰ) 若PD=DC=2求三棱錐A-BDE的體積；
(Ⅱ) 證明PA∥平面EDB；
(Ⅲ) 證明PB⊥平面EFD.

Answer 1

解：(Ⅰ)設CD的中點為H，連結EH，

依題意得EH//PD，且EH=PD=1，因為PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，故三棱錐E-ABD的高是EH，其體積為

因為，所以三棱錐A-BDE的體積為.
(Ⅱ)證明：連結AC，AC交BD于O，連EO，∵底面 ABCD是正方形，∴點O是AC中點，在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO,而EO平面EDB，且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(Ⅲ) 證明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，
∴PD⊥DC.
∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC.①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，
∴BC⊥DE.②
由①②得DE⊥平面PBC，而PB面PBC，
∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD.

略