Question

已知函數．

（1）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，若，，，求的極小值；

（3）設，若函數存在兩個零點，且滿足，問：函數在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）

       由題意，知恒成立，即．          …… （2分）

       又，當且僅當時等號成立．

故，所以．                               ……（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，則，則

（5分）

由，得或（舍去），

，

①若，則單調遞減；在也單調遞減；

②若，則單調遞增．在也單調遞增；

故的極小值為                             ……（8分）

       （Ⅲ）設在的切線平行于軸，其中

① ② ③④

結合題意，有                             ……（9分）

①—②得

所以由④得

所以⑤                                  ……（11分）

設，⑤式變為

設，

所以函數在上單調遞增，

因此，，即

也就是，，此式與⑤矛盾．

所以在處的切線不能平行于軸．              ……（14分）