Question

過點(diǎn)M（-2，0）的直線m與橢圓

x2

2

+y2=1交于P₁，P₂，線段P₁P₂的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析：點(diǎn)斜式寫出直線m的方程，代入橢圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)公式求出P的橫坐標(biāo)，再代入直線m的方程
求出P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OP的斜率k₂，計(jì)算 k₁k₂的值．

解答：解：過點(diǎn)M（-2，0）的直線m的方程為  y-0=k₁（x+2 ），代入橢圓的方程化簡得
（2k₁²+1）x²+8k₁²x+8k₁²-2=0，∴x₁+x₂=

-8k12

2k12+1

，∴P的橫坐標(biāo)為

-4k12

2k12+1

，
 P的縱坐標(biāo)為k₁（x₁+2 ）=

2k1

2k12+1

，即點(diǎn)P（

-4k12

2k12+1

，

2k1

2k12+1

），
直線OP的斜率k₂=

-1

2k1

，
∴k₁k₂=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段中點(diǎn)公式的應(yīng)用，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．