Question

已知a＞0且a≠1，若f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是減函數，則a的范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據復合函數單調性之間的關系以及對數函數的性質即可求a的取值范圍．

解答：解：設t=g（t）=ax²-x，則y=log_at．
①當a＞1時，要使f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是減函數，
則只需函數t=ax²-x在[3，4]是減函數，且函數g（4）＞0，
即對稱軸x=-

-1

2a

=

1

2a

≥4且g（4）=16a-4＞0，
即a≤

1

8

且a＞

1

4

，
∵a＞1，∴此時不成立．
②當0＜a＜10時，要使f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是減函數，
則只需函數t=ax²-x在[3，4]是增函數，且函數g（3）＞0，
即對稱軸x=

1

2a

≤3且g（3）=9a-3＞0，
即a≥

1

6

且a＞

1

3

，
即

1

3

＜a＜1．
故答案為：（

1

3

，1）．

點評：本題考查函數單調性的應用，利用復合函數的單調性之間的關系以及二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵考查分類討論的數學思想．