Question

二次函數f（x）=ax²+bx+1，（a＞0），設f（x）=x的兩個實根為x₁，x₂，
（1）如果b=2且|x₂-x₁|=2，求a的值；
（2）如果x₁＜2＜x₂＜4，設函數f（x）的對稱軸為x=x₀，求證：x₀＞-1．

Answer 1

分析：（1）利用韋達定理可表示出x₂+x₁和x₂•x₁，進而利用配方法求得|x₂-x₁|²的表達式，進而利用已知條件求得a．
（2）根據根的分布推斷出f（2）＜0且f（4）＞0，整理不等式組求得a和b的不等式關系，進而表示出對稱軸，求x₀的范圍，證明原式．

解答：解：（1）b=2，f（x）=ax²+2x+1，（a＞0），又f（x）=x的兩個實根為x₁，x₂，
∴x₂+x₁=-

1

a

，x₂•x₁=

1

a

∵|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=

4

a2

-

4

a

=4
解得：a=

5 -1

2

（2）依題意可知

f(2)＜0 f(4)＞0

即

4a+2b+1＜2 16a+4b+1＞4

整理求得2a＞b
∴

b

a

＜2
∵函數f（x）的對稱軸為x=x₀，
∴x₀=-

b

2a

∴x₀＞-1

點評：本題主要考查了一元二次方程的根據的分布與系數的關系．考查了二次函數的性質以及方程和函數的思想的運用．