Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）已知為的兩個零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】分析：(1)首先確定函數的定義域，之后對函數求導，對參數進行討論，當導數大于零時單調增，當導數小于零時單調減；

(2)由函數有兩個零點，根據第一問的結論，可以斷定，分別將兩個零點代入函數解析式，得到兩個方程，將兩式相減得到，即，之后將問題轉化，構造新函數，利用導數研究函數的性質，從而證得結果.

詳解：（1）函數的定義域為，

，

當時恒成立，

∴在上單調遞增，

當時，

令得，令得，

∴在上單調遞增，上單調遞減.

（2）由為的兩個零點及（1）知，

∴，兩式相減得，即，

要證，只需證，

即證，即證 ，

不妨設，令，只需證，

設，則 ，

設，則，∴在上單減，

∴，∴在上單增，

∴，即在時恒成立，原不等式得證.