Question

某賓館有標準的床位100張，根據經驗，當該賓館的床價（即每張床每天的租金）不超過10元時，床位可以全部租出；當床價高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑，為了獲得較好的效益，該賓館給床位定一個合適價格，條件是：

①要方便結賬，床價應為1元的正整數倍.

②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出的越多越好，若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入（即除去每日的費用支出后的收入）.

(1)把y表示成x的函數，并求出其定義域.

(2)試確定該賓館將床價定為多少元時，既符合上面兩個條件，又能使凈收入最多？

Answer 1

思路分析:從整體來看，這是賓館床位出租問題，探求一天內出租床位凈收入函數和凈收入的最值問題；從局部來看，涉及床位價、床位數、出租毛收入、費用支出和凈收入等關鍵詞和量的關系，特別要注意兩個限制條件.

    建立數學模型：

    列表分析如下：

	床位價	床位數	出租毛收入	出租凈收入
低于標準價10元	x	100	100x	100x-575
高于標準價10元	x	100-3(x-10)	x［100-3(x-10)］	x［100-3(x-10)］-575

解:(1)由已知，有

    y=

    ∵y＞0,x∈N,由100x-575＞0且x≤10,得6≤x≤10,x∈N;

    由［100-(x-10)×3］x-575＞0且x＞10,得10＜x≤38,x∈N,

    ∴所求函數為

    y=

    (2)顯然,當x=10時,100x-575取最大值425元;

    當x＞10時,y=－3x²＋130x－575,僅當x=時,y取最大值.

    ∵x∈N,∴x=22時,y取最大值,此時y_max=833＞425元.

    當床位定價為22元時，凈收入最多.

    檢驗:上述求解中已注意到題中兩個限制條件，故所求結果符合題意.