Question

已知

a

、

b

均為非零向量，當

a

+t

b

（t∈R）的模取最小值時，
①求t的值；
②已知

a

與

b

為不共線向量，求證

b

與

a

+t

b

垂直．

Answer 1

分析：（1）求出

a

+t

b

的平方，展開化簡，模取得最小值時，求出t的值．
（2）借助（1）直接求解（

a

+t

b

）•

b

的值，推出值為0，即可說明

b

與

a

+t

b

垂直．

解答：解：（1）（

a

+t

b

）²=|

a

|  2+t2|

b

|2+2t

a

•

b

=

a

2+t²

b

²+2t|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞
=（t|

b

|+|

a

|cos＜

a

，

b

＞）²+|

a

|²（1-cos²＜

a

，

b

＞）
當t=

-| a |cos＜ a ， b ＞

| b |

時．|

a

+t

b

|有最小值|

a

| 

1-cos2＜ a ， b ＞

；
（2）

a

與

b

為不共線向量，由（1）可知此時，（

a

+t

b

）•

b

=

a

•

b

+[

-| a |cos＜ a ， b ＞

| b |

]|

b

|²=

a

•

b

-

a

•

b

=0
即（

a

+t

b

）⊥

b

，夾角是90°．

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積的應用，考查計算能力，注意模的最小值的求法，存在關系的應用．