Question

已知雙曲線C：+=1（a＞0，b＞0），B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足||、||、||成等比數列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．
（1）求證：•=•；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可表示出l的方程，與漸近線方程聯立求得交點P的坐標，根據、、成等比數列，求得A的坐標，進而表示出，和，進而求得和進而可知．
（2）把直線l的方程與雙曲線方程聯立，進而根據韋達定理表示出x₁•x₂根據其小于0，求得a和c的不等式關系求得e的范圍．
解答：解：（1）l：，
解得，．
∵、、成等比數列，
∴∴=，，，，
∴，．
∴
（2），
∴．
即，
∵，
∴b⁴＞a⁴，即b²＞a²，c²-a²＞a²．∴e²＞2，即．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和對圓錐曲線基礎知識的靈活運用．