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已知
a
=(
3
,-1)
,
b
=(
1
2
,
3
2
)

(Ⅰ)若存在實(shí)數(shù)k和t,使
x
=
a
+(t2-3)
b
,
y
=-k
a
+t
b
,且
x
y
,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)a>0,若過點(diǎn)(a,b)可作曲線k=f(t)的三條切線,求證:-
3
4
a<b<f(a)
分析:(Ⅰ)由
a
=(
3
,-1)
,
b
=(
1
2
,
3
2
)
,知
a
b
=
3
2
-
3
2
=0,|
a
|=2,|
b
|=1,由此能求出k=f(t).
(Ⅱ)由f(t)=
t3-3t
4
,知f′(x)=k′=
3t2-3
4
=
3(t+1)(t-1)
4
,由此能求出k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)設(shè)切點(diǎn)為(t,
t3-3t
4
),k==f(t)=
3t 2-3
4
,則切線方程為:y-y-
t3-3t
4
=
3t2-3
4
(x-t)
,由切線方程過(a,b),知b-
t3-3t
4
=
3t2-3
4
(a-t)
,由此能夠證明
-
3
4
a<b<f(a)
解答:解:(Ⅰ)∵知
a
=(
3
,-1)
,
b
=(
1
2
,
3
2
)
,
a
b
=
3
2
-
3
2
=0,|
a
|=
3+1
=2,|
b
|=
1
4
+
3
4
=1,
x
=
a
+(t2-3)
b
=(
3
,-1
)+(
t2-3
2
,
3
t2-3
3
2
)=(
t2-3+2
3
2
  
3
t2-3
3
-2
2
),
y
=-k
a
+t
b
=(-
3
k,k
)+(
1
2
t,
3
2
t
)=(
1
2
t-
3
k
3
2
t+k
),
x
y
=-4k+t(t2-3)=0,
∴k=f(t)=
t3-3t
4

(Ⅱ)∵f(t)=
t3-3t
4
,
∴f′(x)=k′=
3t2-3
4
=
3(t+1)(t-1)
4

令k′>0,得t>1,或t<-1,
令k′<0,得-1<t<1,
∴k=f(t)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),(-∞,-1);單調(diào)減區(qū)間為(-1,1).
(Ⅲ)設(shè)切點(diǎn)為(t,
t3-3t
4
),k==f(t)=
3t 2-3
4
,
∴切線方程為:y-y-
t3-3t
4
=
3t2-3
4
(x-t)

∵切線方程過(a,b),
∴b-
t3-3t
4
=
3t2-3
4
(a-t)
,
4b-t3+3t=(3t2-3)(a-t),
4b-t3+3t=3at2-3t2-3a+3t,
∴3a+4b=-2t3+3at2有三個(gè)不同的根,
令g(t)=-2t3+3at2,
g′(t)=-6t2+6at=-6t(t-a),
令g′(t)=0,得t=0,或t=a.
令g′(t)>0,得0<t<a,
令g′(x)<0,得t>a,或t<0,
∴g(t)極小值=g(0)=0,
g(t)極大值=g(a)=a3,
∴要使3a+4b=-2t3+3at2有三個(gè)不同的根,
則0<3a+4b<a3
-
3a
4
<b<
a3-3a
4

-
3
4
a<b<f(a)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量垂直的條件的應(yīng)用,具體涉及到平面向量的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)性質(zhì)、切線方程等基本知識(shí)點(diǎn),解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(3,1),
b
=(-2,5)
,則3
a
-2
b
=( 。
A、(2,7)
B、(13,-7)
C、(2,-7)
D、(13,13)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(3,-1)
,
b
=(1,3)
,若
c
a
的夾角等于
c
b
的夾角,且|
c
|=
5
,求
c
的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
={3,-1},
b
={1,-2}
,且(2
a
+
b
)
(
a
b
),λ∈R
,則λ的值為
1
2
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(-3, 1),  
b
=(1, -2)
,若-2
a
+
b
a
+k
b
共線,則實(shí)數(shù)k的值為
 

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同步練習(xí)冊答案
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