Question

例5．設f（x）=x²+px+q，A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}，
（1）求證：A∪B=B；
（2）如果A={-1，3}，求B．

Answer 1

解：（1）證明，設x∈A，
那么，根據A的定義，f（x）=x．
所以，f[f（x）]=f（x）=x．
所以x∈B．
從而A⊆B，故有A∪B=B；
（2）A={-1，3}，即x=x²+px+q有兩根-1，3；
根據根與系數的關系可得，-1+3=-（p-1），則p=-1，
（-1）×3=q，則q=-3；
故f（x）=x²-x-3，
代入x=f[f（x）]可得，[x²-x-3]²-（x²-x-3）-3=x，
化簡可得，x²-x-3=-1，x²-x-3=3，
解可得，x=3，-1，，-；
即B={3，-1，，-}．
分析：（1）分析題意，要證A∪B=B，只需證明A⊆B即可，先設x∈A，根據題意，易得f[f（x）]=f（x）=x，易得x∈B，進而可得A⊆B，即可得證．
（2）根據題意，A={-1，3}，即x=x²+px+q有兩根-1，3；根據根與系數的關系可得p、q的值，即可得f（x）的解析式，代入
x=f[f（x）]可得方程式，解可得B．
點評：本題考查集合的運算，首先要認清集合的意義，如本題中兩個集合是方程的解集．