Question

【題目】已知數列{an}的通項為an ， 前n項和為sn ， 且an是sn與2的等差中項，數列{bn}中，b1=1，點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上． （Ⅰ）求數列{an}、{bn}的通項公式an ， bn
（Ⅱ）設{bn}的前n項和為Bn ， 試比較 與2的大小．
（Ⅲ）設Tn= ，若對一切正整數n，Tn＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得2an=sn+2， 當n=1時，a1=2，
當n≥2時，有2an﹣1=sn﹣1+2，兩式相減，整理得an=2an﹣1即數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，故an=2n ．
點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上得出bn﹣bn+1+2=0，即bn+1﹣bn=2，
即數列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數列，
因此bn=2n﹣1．
（Ⅱ）Bn=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
∴
= ．
（Ⅲ）Tn= ①
②
① ﹣②得
∴
又
∴滿足條件Tn＜c的最小值整數c=3
【解析】（Ⅰ）利用已知條件得出數列的通項和前n項和之間的等式關系，再結合二者間的基本關系，得出數列{an}的通項公式，根據{bn}的相鄰兩項滿足的關系得出遞推關系，進一步求出其通項公式；（Ⅱ）利用放縮法轉化各項是解決該問題的關鍵，將所求的各項放縮轉化為能求和的一個數列的各項估計其和，進而達到比較大小的目的；（Ⅲ）利用錯位相減法進行求解Tn是解決本題的關鍵，然后對相應的和式進行估計加以解決．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．