Question

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=．
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值．

Answer 1

解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，
∵AC=2，BC=，SB=，∴B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
=（2，，-2），=（-2，，0）．
（1）∵•=0，∴SC⊥BC．
（2）設SC與AB所成的角為α，
∵=（0，，0），•=4，||||=4，
∴cosα=，即為所求．

解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內的射影，∴SC⊥BC．
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，
連接SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即為所求．
分析：解法一：建系，寫出有關點的坐標，B，C，s，（1）要證SC⊥BC；只要證EF⊥面PAB，只要證）•=0即可；
（2）要求異面直線SC與AB所成的角的余弦值，只要求與所成角的余弦值即可；
解法二：綜合法證明，（1）要證SC⊥BC，只要證AC⊥BC即可；
（2）要求SC與AB所成角的余弦值，通過平移找到SC與AB所成角，解三角形即可．
點評：考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問題，以及面面垂直的判定定理，體現 了轉化的思想方法，l利用綜合法求異面直線所成的角，關鍵是找出這個角，把空間角轉化為平面角求解，體現了轉化的思想，屬中檔題．