Question

函數f（x）是定義在R上的偶函數，f（0）=0，當x＞0時，f（x）=log 

1

2

x．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式f（x²-1）＞-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可以設x＜0，然后利用函數的奇偶性轉化到-x＞0，利用已知求出x＜0時的解析式即可．用-x代換x，然后寫出整個定義域上的函數的解析式．
（Ⅱ）根據f（x）=log

1

2

(-x)在（-∞，0]上為增函數，結合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上為減函數，將f（a-1）＜-1=f（1）轉化成絕對值不等式|a-1|＞1，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）∵當x＞0時，f（x）=log 

1

2

x，
當x＜0時，則-x＞0，
∴f（-x）=log

1

2

(-x)，
∵函數是偶函數，
∴f（-x）=f（x）．
∴f（x）=log

1

2

(-x)，x＜0
又f（0）=0，
∴f（x）=

log 1 2 x，x＞0 0，x=0 log 1 2 (-x)，x＜0

．
（Ⅱ）∵f（4）=log

1

2

4=-2，函數f（x）是偶函數，
∴不等式轉化為f（|x²-1|）＞f（4）
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴|x²-1|＜4，
解得：-

5

＜x＜

5

．
∴不等式的解集為（-

5

，

5

）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數的奇偶性，函數的解析式的求法，分段函數的概念，奇偶性與單調性的綜合應用．本題要做出整體代換，