Question

某系統采用低息貸款的方式對所屬企業給予扶持，該系統制定了評分標準，并根據標準對企業進行評估，然后依據評估得分將這些企業分別定為優秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據等級分配相應的低息貸款數額．為了更好地掌握貸款總額，該系統隨機抽查了所屬的部分企業，以下圖表給出了有關數據（將頻率看作概率）

評估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
評定類型	不合格	合格	良好	優秀
貸款金額（萬元）		200	400	800

（1）任抽一家所屬企業，求抽到的企業等級是優秀或良好的概率；
（2）對照標準，企業進行了整改，整改后，如果優秀企業數量不變，不合格企業、合格企業、良好企業的數量成等差數列．要使所屬企業獲得貸款的平均值（即數學期望）不低于410萬元，那么整改后不合格企業占企業總數百分比的最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業、優秀企業的概率分別是p₁、p₂、p₃、p₄．則根據頻率分布直方圖可求出p1、p2、p3、p4
進而計算出抽到的企業等級是優秀或良好的概率．
（2）設整改后，任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業的概率分別為a，b，c由題意得2b=a+c．又因為a+b+c+0.25=1所以b=0.25，a+c=0.5．
設整改后一家企業獲利的低息貸款為ξ，計算出ξ的分布列根據有關公式計算出Eξ=450-400a，因為Eξ≥410，所以a≤10%．
解答：解：（1）設任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業、優秀企業的概率分別是p₁、p₂、p₃、p₄
則根據頻率分布直方圖可知：P₁=0.015×10=0.15
P₂=0.04×10=0.4，P₃=0.02×10=0.2，P₄=0.025×10=0.25
所以抽到的企業等級是優秀或良好的概率P₃+P₄=0.2+0.25=0.45．
（2）設整改后，任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業的概率分別為a，b，c
因為整改后不合格企業、合格企業、良好企業的數量成等差數列
所以a，b，c也成等差數列即2b=a+c
又因為a+b+c+0.25=1
所以b=0.25，a+c=0.5
設整改后一家企業獲利的低息貸款為ξ，則ξ的分布列為

ξ	0	200	400	800
P	a	0.25	c	0.25

所以Eξ=450-400a
∵Eξ≥410，
∴a≤10%
∴整改后不合格企業占企業總數百分比的最大值是10%．
點評：本題主要考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列及數學期望等概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力、分析與解決問題能力及必然與或然的數學思想、應用意識等．