Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過程中運用勾股定理即可
（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當為銳角時，所求的角即為它的余角；當為鈍角時，所求的角為
解答：（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD==
∵側面SAB為等邊三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD²=SA²+SD²
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如圖所示的空間坐標系
則A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，則由四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形知，M點一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）
則
設平面SBC的一個法向量為
則，
即
取x=0，y=，z=1
即平面SBC的一個法向量為=（0，，1）
又=（0，2，0）
sin＜，＞===
∴＜，＞=arcsin
即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角以及空間向量的基本知識，屬于中檔題．