Question

如圖半圓O的直徑為2，A點在直徑的延長線上，且OA=2，B點為半圓周上的任意一點，以AB為邊作一個等邊△ABC，問B點在什么位置時，四邊形OABC的面積最大？并求出此時的四邊形面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：設四邊形OABC的面積為S，∠AOB=θ，表示出三角形AOB與三角形ABC面積，相加即為四邊形OABC面積，利用正弦函數的值域確定出面積的最大值，以及此時∠AOB的度數．

解答： 解：設四邊形OABC的面積為S，∠AOB=θ，
∵OA=OB=2，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB•sinθ=sinθ，
∵△ABC為等邊三角形，
∴S_△ABC=

1

2

AB²sinθ，
在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OB²+OA²-2OB•OA•cosθ=5-4cosθ，
∴S_△ABC=

3

4

（5-4cosθ），
則S=S_△AOB+S_△ABC=sinθ+

3

4

（5-4cosθ）=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，
當θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

時，S有最大值為2+

5 3

4

，
則當∠AOB=

5π

6

時，四邊形面積最大，最大面積為2+

5 3

4

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及正弦函數的值域，熟練掌握定理是解本題的關鍵．