Question

某公司生產A、B兩類產品，每類產品均有一般品和優等品兩種，某月的產量如下表：

	A	B
優等品	100	x
一般品	300	400

按分層抽樣的方法在該月生產的產品中抽取50個，其中A類20個．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在B類中抽取一個容量為6個的樣本，從樣本中任意取2個，求至少有一個優等品的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由每個個體被抽到的概率都相等，可得

20

100+300

=

50

100+300+x+400

，由此求得x的值．
（Ⅱ）先求出抽出的產品中，優等品為 2個，一般品為4個，求出沒有優等品的概率，再用1減去此概率，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由每個個體被抽到的概率都相等，可得

20

100+300

=

50

100+300+x+400

，
解得x=200． …（4分）
（Ⅱ）抽取容量為6的樣本，由于優等品所占的比例為

200

200+400

=

1

3

，一般品所占的比例為

400

200+400

=

2

3

，
則抽出的產品中，優等品為 6×

1

3

=2個，一般品為6×

2

3

=4個．
從樣本中任意取2個，所有的取法種數為

C

2 6

=15，其中沒有優等品的取法種數為

C

2 4

=6，
故沒有優等品的概率為

6

15

=

2

5

，
所以至少有一個優等品的概率是 1-

2

5

=

3

5

．  …（12分）

點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個體數乘以每個個體被抽到的概率等于該層應抽取的個體數，
一個事件的概率與它的對立事件的概率間的關系，屬于基礎題．