Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點的切線方程為為常數(shù)）.

   （I）求拋物線方程；

   （II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足，求證線段PM的中點在y軸上；

   （III）在（II）的條件下，當時，若P的坐標為（1，－1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）線段PM的中點在y軸上（3）

解析:

（I）由題意可設拋物線的方程為,

         ∵過點的切線方程為,

         ……………………………………………………………2分

        

         ∴拋物線的方程為…………………………………………………3分

   （II）直線PA的方程為,

           

          

           同理,可得. …………………………………………………………5分

           …………………………6分

           又

          

         ∴線段PM的中點在y軸上.………………………………………………………7分

   （III）由

        

         ………………………………………8分

         ∵∠PAB為鈍角，且P, A, B不共線,

        

          即

        

         …………………………………………………………10分

         又∵點A的縱坐標    ∴當時，；

         當

         ∴∠PAB為鈍角時點A的坐標的取值范圍為……………12分