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在平面直角坐標系中,已知焦距為4的橢圓的左、右頂點分別為,橢圓的右焦點為,過作一條垂直于軸的直線與橢圓相交于,若線段的長為
(1)求橢圓的方程;
(2)設是直線上的點,直線與橢圓分別交于點,求證:直線必過軸上的一定點,并求出此定點的坐標;
(1)依題意,橢圓過點,故,解得。…………(2分)
橢圓的方程為。……………………………(5分)
(2)設,直線的方程為,……………(6分)

代入橢圓方程,得, ……(7分)
,則
,故點的坐標為。…(8分)
同理,直線的方程為,代入橢圓方程,
,則
可得點的坐標為。………………………(10分)
①若時,直線的方程為,與軸交于點;……11
②若,直線的方程為,…(13分)
,解得。綜上所述,直線必過軸上的定點
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的右焦點為,設短軸的一個端點為,原點到直線的距離為,過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點,且.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點且使得成立?若存在,試求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知橢圓C:=1的左.右焦點為,離心率為,直線與x軸、y軸分別交于點是直線與橢圓C的一個公共點,是點關于直線的對稱點,設
(Ⅰ)證明:; (Ⅱ)確定的值,使得是等腰三角形.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓兩個焦點的坐標分別為,并且經過點.過左焦點,斜率為的直線與橢圓交于兩點.設,延長分別與橢圓交于兩點.
(I)求橢圓的標準方程;  (II)若點,求點的坐標;
(III)設直線的斜率為,求證:為定值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,把橢圓的長軸分成等份,過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點,是橢圓的一個焦點,則(   ).
A.50B.35C.32D.41

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

分別是橢圓: ()的左、右焦點,過斜率為1的直線與該橢圓相交于P,Q兩點,且成等差數列.
(Ⅰ)求該橢圓的離心率;
(Ⅱ)設點M(0,-1)滿足|MP|=|MQ|,求該橢圓的方程.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

在橢圓中,為橢圓上的一點,過坐標原點的直線交橢圓于兩點,其中在第一象限,過軸的垂線,垂足為,連接,
(1)若直線的斜率均存在,問它們的斜率之積是否為定值,若是,求出這個定值,若不是,說明理由;
(2)若的延長線與橢圓的交點,求證:.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

若橢圓的一個焦點坐標為(0,1),則實數的值等于_____        ____,

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

. (本小題滿分12分)
如圖,設拋物線C1:的準線與x軸交于F1,焦點為F2;以F1,F2為焦點,離心率的橢圓C2與拋物線C1在X軸上方的交點為P,延長PF2交拋物線于點Q,M是拋物線上一動點,且M在P與Q之間運動.
(I)當m =1時,求橢圓C2的方程;
(II)當的邊長恰好是三個連續的自然數時,求面積的最大值.

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同步練習冊答案
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