Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；
（2）已知a＞2，求證：x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x+1）+f（x+2）＜4，

即|x﹣1|+|x|＜4，

①當x≤0時，不等式為1﹣x﹣x＜4，即 ，

∴ 是不等式的解；

②當0＜x≤1時，不等式為1﹣x+x＜4，即1＜4恒成立，

∴0＜x≤1是不等式的解；

③當x＞1時，不等式為x﹣1+x＜4，即 ，

∴ 是不等式的解．

綜上所述，不等式的解集為

（2）解：證明：∵a＞2，

∴f（ax）+af（x）=|ax﹣2|+a|x﹣2|=|ax﹣2|+|ax﹣2a|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|＞2，

∴x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立

【解析】（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，利用零點分段法求出各段上的解，綜合可得答案；（2）由a＞2，結合絕對值的性質，可得x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．