Question

已知函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）在區間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），當x₁≠x₂時有

f(x1)+2x1-[f(x2)+2x2]

x1-x2

＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求導后求出f′（1），同時求出f（1），由點斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）求出函數的定義域，求出原函數的導函數，進一步求出導函數的零點

1

2

，

1

a

，分

1

a

≤1，1＜

1

a

＜e及

1

a

≥e三種情況討論原函數的單調性，由f（x）在區間[1，e]上的最小值為-2求解a的取值范圍；
（Ⅲ）構造輔助函數g（x）=f（x）+2x，問題轉化為函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，求解a的范圍．把函數g（x）求導后分a=0和a≠0討論，a≠0時借助于二次函數過定點及對稱軸列式求解．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=2x-3+

1

x

．
∵f′（1）=0，f（1）=2，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=-2；
（Ⅱ）函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．
當a＞0時，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

，（x＞0）．
令f′（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0．
∴x=

1

2

或x=

1

a

．
當0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當1＜

1

a

＜e時，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
當

1

a

≥e時，f（x）在（1，e）上單調遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．
綜上，a≥1；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
由題意可知只要g（x）在（0，+∞）上單調遞增即可．
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

．
當a=0時，g′(x)=

1

x

＞0，此時g（x）在（0，+∞）上單調遞增； 
當a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因為x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，則需要a＞0，
對于函數y=2ax²-ax+1，過定點（0，1），對稱軸x=

1

4

＞0，
只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．
綜上0＜a≤8．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．考查了數學轉化思想方法及分類討論的數學數學思想方法，是難題．